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Triángulo de Pascal - Curva de l’Ebre - Potenciación - Ternas Pitagóricas 

 

¡ Hay tantas relaciones presentes [en el triángulo de Pascal] que, cuando alguien descubre una nueva identidad, no son muchos los que se maravillan salvo el propio descubridor !

 

Donald E. Knuth

 

 

Isaac Asimov, siendo joven, publicó unos artículos en los que, además de dar a conocer la Física, exponía ideas propias. Manifestaba desconocer si sus ideas eran novedades.

 

            Muchos años más tarde (siendo Isaac igual de joven) reeditó los artículos en una colección. Decía: "Puse tanto entusiasmo y orgullo presentando mis ideas que, en el caso de que alguien las conociera con anterioridad, nunca me lo habría comunicado para no romper mi ilusión".

 

Sin comparación posible, estoy yo en situación parecida. No se si lo que expongo a continuación es una novedad o si he sido el último en entrarme.

 

Si usted está convencido de que es novedad o de lo contrario... Si a usted le ha servido para algo... Si sencillamente le ha resultado interesante... puede hacérmelo saber.

 

Eduard Bagés - Febrero 2003

 ebagesg@tinet.cat

Curva de l’Ebre

 

            "De libro" es que si tomamos una fila cualquiera del Triángulo de Pascal, por ejemplo:

 

1

6

15

20

15

6

1

 

...y alternativamente sumamos y restamos sus elementos, al final obtendremos el valor cero.

 

 

Lo que ya no se si es conocido es que, si antes de sumar y restar, multiplicamos cada elemento de la fila por los sucesivos elementos de una serie aritmética cualquiera, por ejemplo:

 

7

10

13

16

19

22

25

 

...el resultado sigue siendo cero.

 

 

Sorprende aun más que, si la Fila de Pascal es la fila N (en nuestro ejemplo N = 6), podemos elevar los elementos de la serie aritmética a cualquier potencia positiva, entera, menor que N

 

73

103

133

163

193

223

253

 

...y realizado el cálculo, igual que antes, nos seguirá dando el valor cero.

 

 

De este planteamiento general, el caso particular: exponente cero, es: "el caso de libro".

 

También podemos aplicarlo a polinomios de grado inferior a N.

 

Confieso que esta propiedad de:

 

 

...que es válida para cualquier fila del Triángulo de Pascal, a mí me impresiona.

 

Veamos gráficamente los valores que, con términos de una sucesión aritmética, nos dará la expresión:

 

 

...en función del exponente n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Si esto fuera algo nuevo y si a mí me correspondieran los honores de dar nombre a la curva del gráfico, la hubiera llamado: "curva de l'Ebre". En cualquier caso, a falta de otro nombre conocido, aquí, la he llamado así.

 

Potenciación

 

Podemos definir una Tabla de Exponentes:

 

 

 

E

Y = 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

0

0

0

0

0

0

0

2

1

2

0

0

0

0

0

0

3

1

6

6

0

0

0

0

0

4

1

14

36

24

0

0

0

0

5

1

30

150

240

120

0

0

0

6

1

62

540

1560

1800

720

0

0

7

1

126

1806

8400

16800

15120

5040

0

8

1

254

5796

40824

126000

191520

141120

40320

 

Todos esos ceros que quedan a la derecha de la tabla son los que vimos con la curva de l’Ebre

 

...y una segunda tabla: Tabla de Bases:

 

B

Y=0

1

2

3

4

5

6

7

-5

1

-5

15

-35

70

-126

210

-330

-4

1

-4

10

-20

35

-56

84

-120

-3

1

-3

6

-10

15

-21

28

-36

-2

1

-2

3

-4

5

-6

7

-8

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

0

0

0

0

0

3

1

3

3

1

0

0

0

0

4

1

4

6

4

1

0

0

0

5

1

5

10

10

5

1

0

0

6

1

6

15

20

15

6

1

0

 

...un Triángulo de Pascal extendido a valores negativos que, honradamente, siendo de mi cosecha, tal vez existe desde hace siglos.

Con la Tabla de Exponentes y con la Tabla de Bases, podemos plantear la potenciación como:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ternas Pitagóricas

 

            Para un exponente primo, todos los términos de la Tabla de exponentes, son múltiplos del exponente, excepto el de la columna Y=1 (que es 1). Siendo P un número primo, y siendo A y E números enteros:

 

                       ...y que si P > 2       

 

            Esta fórmula tan simple [ha resultado ser el Pequeño teorema de Fermat. Ver excel Criptografía RSA], tampoco sé si está usada, si es nueva o si tiene nombre, pero me ha dado una gran satisfacción: la de resolver el cálculo de las Ternas Pitagóricas, soluciones enteras para:

 

 

Para    y valores de Z en que resulte entero el cociente:

 

 

            Tome sólo           para reducir a soluciones en que          

 

            Podremos calcular las Ternas Pitagóricas aplicando:

 

                     

 

O sea:

                           

k

Z

A

B

C

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

 

8

5

12

13

3

6

9

12

15

 

9

8

15

17

 

18

7

24

25

4

8

12

16

20

 

16

10

24

26

 

32

9

40

41

5

10

15

20

25

 

25

12

35

37

 

50

11

60

61

                                                        

 

            Dentro de cada familia (las calculadas con un mismo k) se cumple que, para cualquier valor de x:

 

 

            Por ejemplo, la familia de soluciones para k = 3, nos permite afirmar que

 

 

 

 

 

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