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Triángulo de Pascal - Curva
de l’Ebre - Potenciación - Ternas Pitagóricas
¡ Hay tantas
relaciones presentes [en el triángulo de Pascal] que, cuando alguien descubre
una nueva identidad, no son muchos los que se maravillan salvo el propio
descubridor !
Donald E. Knuth
Isaac Asimov, siendo
joven, publicó unos artículos en los que, además de dar a conocer la Física,
exponía ideas propias. Manifestaba desconocer si sus ideas eran novedades.
Muchos años más tarde (siendo Isaac
igual de joven) reeditó los artículos en una colección. Decía: "Puse tanto
entusiasmo y orgullo presentando mis ideas que, en el caso de que alguien las
conociera con anterioridad, nunca me lo habría comunicado para no romper mi
ilusión".
Sin comparación posible, estoy yo en situación parecida. No se si lo que
expongo a continuación es una novedad o si he sido el último en entrarme.
Si usted está convencido
de que es novedad o de lo contrario... Si a usted le ha servido para algo... Si
sencillamente le ha resultado interesante... puede hacérmelo saber.
Eduard Bagés - Febrero
2003
Curva de l’Ebre
"De libro" es que
si tomamos una fila cualquiera del Triángulo de Pascal, por ejemplo:
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
...y
alternativamente sumamos y restamos sus elementos, al final obtendremos el
valor cero.
Lo que ya no se si es
conocido es que, si antes de sumar y restar, multiplicamos cada elemento de
la fila por los sucesivos elementos de una serie aritmética cualquiera, por
ejemplo:
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
...el
resultado sigue siendo cero.
Sorprende aun más que, si
la Fila de Pascal es
la fila N (en nuestro ejemplo N = 6), podemos elevar
los elementos de la serie aritmética a cualquier potencia positiva, entera,
menor que N
73 |
103 |
133 |
163 |
193 |
223 |
253 |
...y
realizado el cálculo, igual que antes, nos seguirá dando el valor cero.
De
este planteamiento general, el caso particular: exponente cero, es: "el caso de
libro".
También podemos aplicarlo a polinomios de grado inferior a N.
Confieso que esta propiedad de:
...que
es válida para cualquier fila del Triángulo de Pascal, a mí me
impresiona.
Veamos gráficamente los valores que, con términos de una sucesión
aritmética, nos dará la expresión:
...en
función del exponente n
Si esto fuera algo
nuevo y si a mí me correspondieran los honores de dar nombre a la curva del
gráfico, la hubiera llamado: "curva
de l'Ebre". En cualquier caso, a falta de otro
nombre conocido, aquí, la he llamado así.
Podemos definir una Tabla de Exponentes:
E |
Y = 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
14 |
36 |
24 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
30 |
150 |
240 |
120 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1 |
62 |
540 |
1560 |
1800 |
720 |
0 |
0 |
7 |
1 |
126 |
1806 |
8400 |
16800 |
15120 |
5040 |
0 |
8 |
1 |
254 |
5796 |
40824 |
126000 |
191520 |
141120 |
40320 |
Todos esos ceros que quedan a la derecha de
la tabla son los que vimos con la curva de l’Ebre
...y una segunda
tabla: Tabla de Bases:
B |
Y=0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
-5 |
1 |
-5 |
15 |
-35 |
70 |
-126 |
210 |
-330 |
-4 |
1 |
-4 |
10 |
-20 |
35 |
-56 |
84 |
-120 |
-3 |
1 |
-3 |
6 |
-10 |
15 |
-21 |
28 |
-36 |
-2 |
1 |
-2 |
3 |
-4 |
5 |
-6 |
7 |
-8 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
0 |
0 |
6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
0 |
...un Triángulo
de Pascal extendido a valores negativos que, honradamente,
siendo de mi cosecha, tal vez existe desde hace siglos.
Con la Tabla de Exponentes y
con la Tabla de Bases,
podemos plantear la potenciación
como:
Para un exponente primo, todos los términos de la Tabla de exponentes, son múltiplos del exponente, excepto el de la columna Y=1 (que es 1). Siendo P un número primo, y siendo A y E números enteros:
...y que si P
> 2
Esta fórmula tan simple [ha resultado ser el Pequeño teorema de Fermat. Ver excel
Criptografía RSA], tampoco sé si está usada, si es nueva o si tiene nombre, pero me
ha dado una gran satisfacción: la de resolver el cálculo de las Ternas Pitagóricas, soluciones enteras
para:
Para y valores de Z en que resulte entero el cociente:
Tome sólo para reducir a
soluciones en que
Podremos calcular las Ternas Pitagóricas aplicando:
O sea:
k |
Z |
A |
B |
C |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
8 |
5 |
12 |
13 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
|
9 |
8 |
15 |
17 |
|
18 |
7 |
24 |
25 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
|
16 |
10 |
24 |
26 |
|
32 |
9 |
40 |
41 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
|
25 |
12 |
35 |
37 |
|
50 |
11 |
60 |
61 |
Dentro de cada familia (las
calculadas con un mismo k) se cumple que, para cualquier valor de x:
Por ejemplo, la familia de
soluciones para k = 3, nos permite
afirmar que